TEMAT 1. LICZBY CAŁKOWITE. LICZBY WYMIERNE

Rozpoznaj rodzaj liczby

Przyjmujemy w tej lekcji $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$. Liczby całkowite obejmują też ujemne odpowiedniki naturalnych. Liczbę wymierną da się zapisać jako $\frac ab$, gdzie $a,b\in\mathbb Z$ i $b\ne0$. Zatem $6$ jest naturalna, $-6$ całkowita, a $\frac32$ wymierna. Klasy mogą się nakładać.

Wybierz pasujący symbol zbioru

Symbol $\mathbb N$ oznacza liczby naturalne, $\mathbb Z$ całkowite, $\mathbb Q$ wymierne, $\mathbb R$ rzeczywiste. Pytanie „do jakiego zbioru należy?” może mieć kilka poprawnych odpowiedzi. Na przykład $-8\in\mathbb Z$, a także $-8\in\mathbb Q$ i $-8\in\mathbb R$. Pytanie o najmniejszy zbiór ma już jedną odpowiedź.

Pierwiastek nie przesądza o klasie

Najpierw odczytuj wartość, potem rodzaj liczby. Zapis $\sqrt{16}$ oznacza liczbę $4$, ponieważ $4^2=16$ i $4\ge0$. Natomiast $\sqrt2$ jest niewymierna. Błędny skrót: „widzę pierwiastek, więc liczba jest niewymierna”. Naprawa: sprawdź, czy podpierwiastkowa jest kwadratem liczby całkowitej.

Łańcuch zawierania i kontrprzykłady

Relacja $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$ mówi, że każdy element zbioru po lewej należy też do zbioru po prawej. Zawierania są właściwe: $-1\in\mathbb Z\setminus\mathbb N$, $\frac12\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z$, $\sqrt2\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$. Nie wolno odwracać tego łańcucha.

Czytaj zagnieżdżony diagram

W diagramie najbardziej wewnętrzny obszar to $\mathbb N$, następna otoczka to $\mathbb Z$, potem $\mathbb Q$, a największy obszar to $\mathbb R$. Etykieta otoczki odnosi się do całego obszaru wraz z wnętrzem. Pas między $\mathbb Q$ a $\mathbb R$ oznacza liczby niewymierne. Rysunek nie pokazuje odległości na osi.

Definicja prowadzi do klasyfikacji

Opis „iloraz dwóch liczb całkowitych przy niezerowym mianowniku” wskazuje $\mathbb Q$. Opis „liczba wymierna bez części ułamkowej” wskazuje $\mathbb Z$. Opis „liczba rzeczywista bez zapisu jako iloraz całkowitych” wskazuje $\mathbb R\setminus\mathbb Q$. Wygląd zapisu dziesiętnego lub pierwiastkowego jest tylko wskazówką, a definicja rozstrzyga.

Element i zbiór mają różne symbole

W zapisie $3\in\mathbb N$ po lewej stoi element. W zapisie $\mathbb N\subset\mathbb Z$ po lewej stoi zbiór. Symbol $\notin$ przeczy należeniu, na przykład $-3\notin\mathbb N$. Przed wyborem znaku odczytaj rodzaj obiektów po obu stronach. Liczby nie traktujemy tutaj jako zbioru liczb.

Uprość i znajdź najmniejszy zbiór

Procedura klasyfikacji ma dwa etapy: oblicz wartość zapisu, a następnie sprawdź kolejno naturalność, całkowitość i wymierność. Gdy żaden z trzech pierwszych zbiorów nie pasuje, ale liczba jest rzeczywista, wybierz $\mathbb R$. Nazwa najmniejszego zbioru nie usuwa przynależności do większych.

Spróbuj sam — bez punktów

Zapisz wymierną jako iloraz

Zapis dziesiętny skończony zamieniamy na ułamek o mianowniku będącym potęgą dziesięciu. Potem skracamy licznik i mianownik przez wspólny dzielnik. Skracanie upraszcza zapis, ale nie jest warunkiem wymierności: zarówno $\frac{12}{8}$, jak i $\frac32$ przedstawiają tę samą liczbę wymierną.

Spróbuj sam — bez punktów

Dobierz relację do obiektów

Najpierw ustal, czy zdanie porównuje liczbę ze zbiorem, czy dwa zbiory. Dopiero potem sprawdź prawdziwość relacji. Występowanie zbioru po prawej nie wystarcza do użycia $\subset$: także zdanie $\frac12\in\mathbb Q$ ma zbiór po prawej, lecz element po lewej.

Spróbuj sam — bez punktów

Skontroluj klasyfikację złożonego zapisu

Wyrażenie może wyglądać jak ułamek z pierwiastkiem, ale jego wartość może być naturalna. Prowadź kontrolę wiersz po wierszu: działania, znaki, wynik, a dopiero potem zbiór. Nie klasyfikuj osobno fragmentów wyrażenia, jeśli zadanie dotyczy całego wyniku.

Spróbuj sam — bez punktów

Całkowita też jest wymierna

Dowolna liczba całkowita $z$ ma zapis $z=\frac z1$. Spełnia on wszystkie warunki definicji wymierności. Błąd „wymierne są wyłącznie niecałkowite ułamki” wynika z mylenia wartości z wyglądem zapisu. Naprawa polega na dopisaniu mianownika $1$.

Spróbuj sam — bez punktów

Odczytaj wszystkie otoczki elementu

Dla punktu umieszczonego w $\mathbb Z\setminus\mathbb N$ odczytujemy etykietę $\mathbb Z$ i każdej większej otoczki: $\mathbb Q$ oraz $\mathbb R$. Punkt nie leży w $\mathbb N$. Dla $\frac12$ zaczynamy od $\mathbb Q$, zaś dla $\sqrt2$ tylko od $\mathbb R$. Wewnętrzny obszar wyznacza najmniejszy zbiór.

Porównaj tabelę z diagramem

Przejdź od opisu do symboli

Opis „całkowita, ale nie naturalna” zapisujemy $x\in\mathbb Z\setminus\mathbb N$. Opis „rzeczywista, ale nie wymierna” zapisujemy $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$. Słowo „ale” oznacza tu dodatkowe ograniczenie, a nie wybór jednego zbioru. Przykładem pierwszej klasy jest $-1$, drugiej $\sqrt2$.

Klasyfikuj dokładne dane pomiarowe

Rozróżnij dokładną wartość geometryczną i jej zaokrąglony odczyt. Przekątna kwadratu o boku $1\,\mathrm m$ ma dokładną długość $\sqrt2\,\mathrm m$, ale zapis przybliżony $1{,}41\,\mathrm m$ jest wymierny. Temperatura $-3\,^\circ\mathrm C$ jest całkowita, a odcinek $\frac34\,\mathrm m$ wymierny. Klasyfikujemy liczbę przy jednostce.

Spróbuj sam — bez punktów

Dobierz zbiór do modelu sytuacji

Liczba uczniów wymaga $\mathbb N$, saldo przy dopuszczalnym zadłużeniu w pełnych jednostkach wymaga $\mathbb Z$, a dokładne części jednostki wymagają $\mathbb Q$. Gdy model dopuszcza długości typu $\sqrt2$, potrzebne są $\mathbb R$. Wybieraj najmniejszy zbiór obejmujący wszystkie dozwolone wartości modelu.

Spróbuj sam — bez punktów

Dlaczego rozszerzamy zbiory?

W $\mathbb N$ działanie $2-5$ nie daje naturalnej, więc przechodzimy do $\mathbb Z$. Iloraz $1:2$ nie jest całkowity, więc potrzebne jest $\mathbb Q$. Równanie $x^2=2$ nie ma rozwiązania wymiernego, lecz ma rzeczywiste $x=\pm\sqrt2$. Każde rozszerzenie umożliwia opis nowych wyników i sytuacji.

Spróbuj sam — bez punktów

Klasyfikować nietypowy zapis

Kontrola gotowości: umiem najpierw uprościć zapis. Dla $\frac{(-3)^2-1}{4}$ otrzymuję $\frac84=2$, a dopiero potem wybieram $\mathbb N$. Gdy odpowiedź jest poprawna, potrafię też wskazać wszystkie większe zbiory. To odróżnia znajomość procedury od rozpoznawania tylko wyglądu.

Korygować ocenę opartą na wyglądzie

Kontrola gotowości: gdy słyszę „$\frac{10}{5}$ to niecałkowity ułamek”, sprawdzam wartość $2$. Gdy słyszę „$\sqrt{100}$ jest niewymierna”, obliczam $10$. Każda poprawa powinna wskazać krok powodujący zmianę klasyfikacji, nie tylko nazwę końcowego zbioru.

Odróżniać element od zbioru na diagramie

Kontrola gotowości: z diagramu odczytuję, że $\mathbb N\subset\mathbb Q$, ponieważ po drodze jest $\mathbb Z$. Jednocześnie $2\in\mathbb N$ i $2\in\mathbb Q$. Zawieranie może obejmować więcej niż sąsiednie otoczki, lecz znak należenia dotyczy pojedynczego elementu.

Uzasadniać wymierność

Kontrola gotowości: zamiast napisać „to wymierna”, przedstawiam poprawny iloraz. Na przykład $-2{,}4=\frac{-12}{5}$. Przy niewymierności nie wystarcza brak znalezionego ułamka: potrzebny jest dowód. Dla $\sqrt2$ dowód przez sprzeczność wykorzystuje parzystość licznika i mianownika; pełne rozumowanie znajdziesz w syntezie.

Napraw symbole należenia i zawierania

Błąd: $3\subset\mathbb N$ oraz $\mathbb N\in\mathbb Z$. Poprawnie: $3\in\mathbb N$ oraz $\mathbb N\subset\mathbb Z$. Przyczyna: nierozróżnianie elementu i zbioru. Najmniejszy krok: nazwij lewy obiekt „liczba” lub „zbiór”; dopiero potem wstaw właściwy znak.

Znajdź także mniejsze zbiory

Błąd: „dla $5$ jedynym zbiorem jest $\mathbb R$”. Poprawnie: $5\in\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$, najmniejszy to $\mathbb N$. Przyczyna: nieuwzględnienie zagnieżdżenia. Najmniejszy krok: zacznij w wewnętrznym obszarze i przejdź przez cały łańcuch zawierania.

Najpierw oblicz prosty pierwiastek

Błąd: $\sqrt9\notin\mathbb Q$. Poprawnie: $\sqrt9=3\in\mathbb N\subset\mathbb Q$. Przyczyna: ocena symbolu zamiast wartości. Najmniejszy krok: sprawdź kwadrat $3^2=9$ i nieujemność $3$. Dla $\sqrt{10}$ takiej całkowitej wartości już nie ma.

Dopisz niezerowy mianownik

Błąd: $-4\notin\mathbb Q$. Poprawnie: $-4=\frac{-4}{1}\in\mathbb Q$. Przyczyna: przekonanie, że wymierna musi mieć widoczny ułamek niecałkowity. Najmniejszy krok: dopisz mianownik $1$. To działa także dla zera i każdej dodatniej całkowitej.

Połącz zapisy i klasyfikację

Synteza zaczyna się od wartości. Zestaw $\sqrt{36},-\frac{14}{2},0{,}2,\sqrt5$ prowadzi do $6,-7,\frac15,\sqrt5$. Najmniejsze zbiory to kolejno $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$. Każdy wynik wymierny można potwierdzić ilorazem całkowitych, a nie samą nazwą kategorii.

Spróbuj sam — bez punktów

Uzasadnij także niewymierność

Dla $\sqrt2$ rozumujemy nie wprost: załóż $\sqrt2=\frac ab$ dla względnie pierwszych całkowitych $a,b$ i $b\ne0$. Wtedy $a^2=2b^2$, więc $a$ jest parzyste. Po wstawieniu $a=2k$ dostajemy $b^2=2k^2$, więc $b$ też jest parzyste. To przeczy względnej pierwszości. Ułamka o takich warunkach nie ma.

Spróbuj sam — bez punktów

Zbuduj diagram z przykładami

Tworząc diagram, wpisz wewnątrz $\mathbb N$ liczbę $2$, w $\mathbb Z\setminus\mathbb N$ liczbę $-2$, w $\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ ułamek $\frac25$, a w $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ liczbę $\sqrt2$. Następnie sprawdź, że każda liczba należy też do każdej otoczki swojego obszaru.

Stosuj symbole w nowym zestawie

Końcowa mapa relacji: $-\frac12\in\mathbb Q$, $-\frac12\notin\mathbb Z$, $\mathbb N\subset\mathbb R$. Pierwsze dwa zdania porównują element ze zbiorem, trzecie dwa zbiory. Przed zatwierdzeniem zdania sprawdź oddzielnie poprawność symbolu i prawdziwość matematycznej treści.